4. Cálculo Mental

1. Introducción

Tal y como se describió en el tema 1, uno de los objetivos que se derivan del trabajo realizado en numeración, es el desarrollo de un cálculo mental básico, sobre el que se asentarán el desarrollo de algoritmos escritos. En el Método ABN, debemos cambiar la percepción de los algoritmos escritos como el apartado más esencial del curriculum de matemáticas, para tomar el desarrollo de un profundo conocimiento del sistema de numeración y la utilización de estrategias de cálculo mental como aspectos imprescindibles obre los que apoyar el aprendizaje de las operaciones escritas. En el método ABN, el algoritmo escrito, se adaptará en base al cálculo mental que posea el/la alumno/a, por lo que deberemos incorporar a nuestra programación, la secuencia de trabajo a seguir para el desarrollo de estrategias de cálculo mental, que, posteriormente, se verán reflejadas en la resolución de los problemas y operaciones escritas.

En este tema se agrupan, en tres apartados, las actividades, juegos y conceptos a trabajar desde Educación Infantil y a lo largo de Educación Primaria, para propiciar el desarrollo de estrategias de cálculo mental y agilidad mental, para establecer relaciones y transformaciones entre los números. Los contenidos a trabajar, serán el aprendizaje de los amigos del 10, 100, 1.000, 10.000,… para poder propiciar el desarrollo de estrategias de redondeo y compensación; el trabajado programado de patrones asociados a las operaciones, en donde tienen que utilizar forzosamente el cálculo mental y el análisis de las relaciones que se establecen entre las operaciones; y, por último, las estrategias de redondeo y compensación en cálculos aditivos (sumas y restas).

2. Amigos del 10, 100, 1.000

En el tema 3 se presentó el concepto de amigos del 10, en base a las descomposiciones en casitas o adosados, siendo éste la presentación de todas las opciones de descomponer el diez, repartiendo la cantidad en dos partes. Ya se comentó la importancia de este contenido, para el desarrollo posterior de las estrategias de cálculo mental, ya que el redondeo y compensación, se asientan en el uso y reconocimiento de los amigos del 10, 100,…

El aprendizaje de los amigos del 10, se suele iniciar en 4 años, pero no es hasta primer ciclo de primaria, cuando el alumnado comienza a dominar este concepto y ser capar de aplicarlo a las operaciones por cálculo mental, y posteriormente, por escrito. Si el/la alumno/a no tiene afianzado este concepto, es difícil que puedan desarrollarse estrategias de cálculo mental más avanzadas.

A continuación, se presenta la secuencia de actividades a realizar en la etapa de educación infantil (EI4):

Amigos del 10 (Educación Infantil 4)

Tiene su comienzo en educación infantil de 4 años, con el trabajo de repartos irregulares, en el momento que presentamos todas las combinaciones posibles para descomponer el diez en dos partes. Como ya se especificó en el tema 3, el trabajo hasta llegar al aprendizaje de los amigos del diez, pasa por la manipulación, representación simbólica y, posteriormente, símbolos numéricos; debiendo fomentar el desarrollo de juegos para afianzar este concepto. 

A continuación, se muestran algunos ejemplos de juegos para llevar a cabo en el aula de educación infantil y primero de primaria.

1. Casitas Amigos del 10 (EI4)

Se representan todas las combinaciones posibles de dos cantidades para sumar diez.

2. Sol de los amigos del 10 (EI5)

Una vez que las casitas están ya trabajas, se inicia la representación de las combinaciones del 10, en formato del sol, lo que supone la introducción de las restas para conseguir la cantidad pedida. En la figura 2, se representan todas las combinaciones de conseguir el 10 con dos cantidades y algún ejemplo de resta.

3. Ten frame (EI4)

El uso de este material nos proporciona un gran repertorio de posibilidades, ya que se podría utilizar para la iniciación de la numeración hasta 10, la decena, representación de cantidades mayores a 10, sumas y restas,… El material se puede conseguir fácilmente, utilizando varias hueveras de decenas, que pueden ser decoradas por el alumnado; también, se puede representar el ten frame, por medio de una cuadrícula de 10 casillas (5 y 5), que podemos plastificar para que sea más duradera (Figura 3).

4. Arcoíris de los amigos del 10 (EI5)

Este juego representa otra forma de conseguir todas las combinaciones de descomposición aditiva de dos sumandos del 10. Este tipo de juego se puede adaptar a las etapas del aprendizaje de la tabla de la suma, puesto que se muestran las descomposiciones en forma aditiva. Se comienza a trabajar a partir de infantil de 5 años. En la figura 4, se incluye un ejemplo de arcoíris del 10, que se puede adaptar para utilizarlo como juego plastificado, para que el alumnado tenga que colocar los sumandos en el lugar correcto, tras seguir el arco de cada color.

5. Juegos con depresores

Los depresores nos dan grandes posibilidades de crear juegos y materiales para trabajar cualquier contenido. A continuación, se muestran algunos ejemplos de juegos:

• El juego de los amigos del 10 con corazones. María del Mar Quirell (EI5)

Esta actividad es posterior, a haber realizado muchas experiencias manipulativas, para poder llegar a este nivel simbólico. Se deben colocar los corazones de cartulina de colores, de forma que se representen todas las combinaciones de sumas para conseguir 10 (figura 5). El alumnado deberá verbalizar la descomposición del palito que le haya tocado. Este juego se utiliza a partir de 5 años.

• Encuentra la pareja de pinzas (EI5). En este juego se preparan palillos con una suma sin sumandos y el resultado de 10. Además, se deberán numerar pinzas del 0 al 10, con el objetivo que el alumnado forme las parejas de números que consiguen 10. Se recomienda representar en la pinza, tanto la grafía como la cantidad con puntos, para aquellos/as alumnos/as que aún no reconocen el símbolo numérico. En la figura 6, se presenta un ejemplo de cómo realizar el material, se pueden realizar algunas variantes, como presentar uno de los sumandos en los palitos.

6. Juegos con cartas

• Amigos del 10 con cartas: este juego precisa de una baraja de cartas, preferiblemente de las que tienen también el 8, 9 y el comodín, el cual hará de cero para emparejarse con el 10. Se pueden jugar múltiples juegos, repartiendo cartas al alumno/a y «robando» una al compañero, para descartarse los amigos, colocándolas boca abajo, también se puede jugar a parejas de memoria, colocándolas todas boca arriba o boca abajo y emparejar; otra posibilidad, es repartir una carta a cada alumno/a, de manera que cada uno pueda encontrar una pareja (en caso de ser impares, nos incluiremos en el juego). Deberán recorrer la clase para buscar la pareja que forma 10; una última posibilidad que se propone, es repartir cuatro cartas a cada jugador/a, y cuatro cartas boca arriba en la mesa. Por turnos, deberán hacer una pareja del 10, entre una de sus cartas y una de las cartas que está en la mesa.

7. Juegos con materiales diversos

• Cazar amigos del 10 (EI5): Se puede realizar con materiales de números que tengamos en el aula: números magnéticos, tarjetas, números de fieltro, bolas de bingo,… El/la alumno/a deberá conseguir hacer la pareja de amigos del 10..

• Amigos del 10 con pinzas y perchas (EI5): En una percha se colocan 10 pinzas, con cinco pinzas de un mismo color y cinco pinzas de otro. En la percha se colocan todas las pinzas y deberán mover las pinzas de un extremo a otro para representar todas as posibilidades de formar el 10 (figura 8).

• Bingo de amigos del 10: En este juego se presentan en los cartones números del 0 al 10. Se sacarán las bolas del 0 al 10 y deberán tachar del cartón, el número que es la pareja para formar 10 (figura 9). El material para imprimir se ha enlazado en el apartado de recursos.

Amigos del 100 (1º Educación Primaria)

Una vez que los amigos del 10, están trabajados, reforzados y afianzados, deberemos pasar al aprendizaje de los amigos del 100. Normalmente, se suele iniciar en primero de educación primaria, aunque hay algunos docentes que lo inician en infantil de 5 años. A continuación, en la figura 10, se muestra los tres niveles de trabajo que se llevan a cabo en el aprendizaje de los amigos del 10.

El primer nivel, se trabajan los amigos del 100 con decenas completas. Este nivel no supone demasiada dificultad, ya que es igual que los amigos del 10, pero extrapolando a decenas.

El siguiente nivel, se comienza a complicar, ya que tienen que encontrar el amigo de la semidecena. La peculiaridad de estos amigos, es que ambos componentes de la pareja acaban en cinco. Al inicio conviene apoyarse con la tabla del 100 y con los palillos (reales o simbólicos), ya que de esta manera se acostumbran a completar la siguiente decena para poder encontrar el amigo más fácilmente, practicando el redondeo. Por ejemplo (figura 11), si tenemos el 35, en primer lugar, completaríamos a la siguiente decena, que sería echándole cinco, llegaremos al 40. (el amigo del 5 es el 5); a continuación, se debe buscar el amigo de la decena, en este caso del 40 (nivel que ya se ha debido superar), que será el 60. Por lo que el amigo de 35, será el 65 (60 + 5).

El tercer nivel, se tendría que buscar el amigo de cualquier número menor a 100. Una vez adquirida la dinámica anterior con el apoyo de la tabla del 100 y palillos, la suelen resolver sin mayor dificultad. Por ejemplo, en la figura 12, se muestra un ejemplo representado con palillos. Se debe encontrar el amigo del 26, se procedería de la siguiente manera: se completaría a 30, con cuatro palillos. Y se buscaría el amigo del 30, en este caso, el 70; por lo que el amigo de 36, sería 74, para llegar a 100. Se seguiría utilizando la estrategia de redondear, para facilitar el cálculo.

Amigos del 1.000 (2º EP)

Al igual que con los amigos del 100, en el caso de los amigos del 1000, nos debemos asegurar que el alumnado tiene afianzado los amigos del 10 y del 100, ya que, sin los niveles anteriores, es imposible seguir avanzando. En este caso, se presenta el aprendizaje de los amigos del 1000, secuenciado en tres niveles, para asegurar que todos lo vayan adquiriendo de forma progresivo. Este contenido se trabajará a lo largo de segundo de primaria, para poder garantizar el desarrollo de las posteriores estrategias de cálculo mental. En la figura 13, se representan los tres niveles de dificultad que se trabajan.

En el primer nivel, se debe encontrar las parejas que completen a 1000, a partir de las centenas completas. Suelen conseguirlo sin mayores dificultades, ya que consiste en realizar la misma acción que con los amigos del 10, pero a nivel de centenas, (la cantidad se hace 100 veces más grande).

En el segundo nivel, se debe buscar el complemento a 1000, de cantidades con centenas y decenas. En este caso, se deberá llevar a cabo la misma estrategia de saltos utilizada con los amigos del 100. En la figura 14, se presenta un ejemplo de este nivel, en el que se deberá encontrar el complemento del 1000. El número dado es 280; en un primer paso, se redondeará a la siguiente centena, de 280 a 300, y le estamos añadiendo 20. Seguidamente, se buscará el amigo del 300 para completar a 1000, que en este caso es 700. Con lo que tenemos que la pareja del 260, será el 720 (700 + 20).

En el último nivel, se deberá buscar el complemento de 1000, de una cantidad con centenas, decenas y unidades sueltas. En este caso deberá redondear, en primer lugar, a la siguiente decena; a continuación, redondear a la centena, y finalmente, buscar el complemento de la centena exacta para llegar a 1000. La figura 15, muestra un ejemplo representado con palillos, donde se debe buscar el amigo del 648. En primer lugar, se completa hasta la siguiente decena, por lo que se llega al 650, y le hemos añadido 2. Seguidamente, se debe redondear hasta la siguiente centena, es decir, a 700, por lo que estamos añadiendo 50 más. Por último, se debe buscar el complemento del 700 para llegar a 1000, que es 300. Con lo que tenemos que el amigo del 648, es el 752 (700 + 50 +2).

3. Patrones

En el Método ABN es de especial importancia, el trabajo realizado con patrones, no sólo nos referimos a los patrones numéricos, que se inician mediante el conteo (de dos en dos, de cinco en cinco,…), sino que debemos facilitar prácticas de patrones presentados como series de operaciones. El trabajo con los patrones con operaciones ayuda a entender y razonar las relaciones existentes entre los miembros o elementos de la operación, y cómo repercute en alguno de ellos, la modificación que se realice en cualquier otro. La práctica de este tipo de actividades permite deducir cual será el elemento que nos falta en una operación determinada sin llegar a realizarla, así como, extender una sola operación, sin necesidad de que los datos de la operación sean números de muchas cifras. Con ello no sólo desarrollamos el cálculo mental, sino también el cálculo pensado o razonado que ayudará a una mayor agilidad mental en las operaciones. La experiencia adquirida mediante estas tareas, repercute en otras tareas de composición y descomposición, como sol de números, spider,…

Patrones en la suma (1º EP)

Es importante reforzar los amigos del 10, 100 y 1000 con este tipo de ejercicios, en los que se deberá descubrir uno de los elementos de la suma, considerando que el resultado será 100 o 1000 (figura 16). A la vez que se trabaja los patrones con este tipo de ejercicios, se deberá proponer cantidades diferentes a 10, 100 o 1000. Las modificaciones que se presentan en los patrones, afecta a todos los órdenes de unidades.

Patrones en la resta (1º EP)

En la resta se presenta la misma estructura que en la suma, es conveniente trabajarlo en el contexto de Los amigos de… y de forma paralela con el resto de cantidades. En la figura 17, el ejemplo muestra el trabajo de los patrones aplicado a los complementarios. En las operaciones de resta para hallar el que queda cuando le quitamos a 100 o 1000 una parte, debemos presentar los patrones que varíen en todos los órdenes de unidades, presentándolo de forma progresiva para facilitar el análisis de las relaciones en las operaciones.

Patrones en el producto (3º EP)

La introducción del uso de patrones en la multiplicación se suele iniciar en tercero de educación primaria, una vez iniciado el aprendizaje del producto. En este tipo de actividad (figura 18), se trabaja el uso de patrones en la multiplicación cuando alguno o varios de los órdenes de magnitud del multiplicando o multiplicador sufren alguna variación respecto a la operación original; el alumnado deberá descubrir cómo dicha variación afecta al resultado de la operación. La realización de estos ejercicios requiere de un trabajo previo en patrones con series de operaciones y un conocimiento avanzado del sistema de numeración.

Patrones en la división (4º EP)

Los patrones en la división, se introduce con el alumnado que ya conoce la división, de manera que pueda descubrir las relaciones entre los distintos miembros de la misma, cuando alguno de ellos varia al ser multiplicado/dividido por la unidad seguida de ceros (haciéndolo diez, cien,… veces mayor), o cuando se hace dos, tres, cuatro,… veces más grande. Es recomendable presentarles los patrones organizados por orden de dificultad para ir adquiriendo este aprendizaje de forma gradual. En la figura 19, se presenta un ejemplo de patrones de la división, en la que se presenta distintos niveles de dificultad.

4. Estrategias de redondeo y compensación

El alumnado que aprende mediante la metodología ABN, adquiere una gran destreza en el cálculo mental de todas las operaciones, pudiendo aplicar estrategias para la resolución de las mismas. Como base de la metodología se trabajará el cálculo mental con cantidades hasta cuatro o cinco cifras, aunque en los niveles altos, se llega a alcanzar una buena habilidad en la resolución de cálculo mental de suma y resta con números mayores (Martínez Monteo, Sánchez Cortés y De la Rosa, 2020). En la medida de lo posible, evitaremos la realización de cálculos, mentales o escritos, con cantidades grandes, reforzando el uso de la calculadora; la intención es que el alumnado desarrolle estrategias de cálculo mental con cantidades que se pueden encontrar en su vida cotidiana, ya que el trabajo con cantidades demasiado grandes, descontextualiza la resolución de operaciones por medio de problemas. Estas estrategias se podrán presentar en el cálculo mental, y en el cálculo escrito, pudiendo detallarlo en algunos de los pasos por escrito.

Las principales estrategias de cálculo mental que se desarrollan a través del método ABN, son el redondeo y la compensación. A continuación, se describen cada una de las estrategias y se presentan algunos ejemplos aplicados a diferentes operaciones.

Redondeo

Se llama redondeo cuando el/la alumno/a, previamente a realizar los cálculos, realiza ajustes en los términos de la operación con el fin de poder realizarla de una forma rápida y sencilla (Martínez Montero y Sánchez Cortés, 2019). Se recomienda incluir en la programación, un tiempo determinado para la práctica de este tipo de operaciones en las que es fácil aplicar el redondeo por cálculo mental, propiciando que el alumnado utilice estas estrategias y las verbalice. Vamos a analizar algunos ejemplos de redondeo utilizado en las estructuras aditivas.

Redondeo en la Suma (1º EP)

En la figura 20, se muestra la secuencia de redondeo aplicados a sumas, con cantidades cada vez más grandes. Para la utilización de esta estrategia, se hace necesario el conocimiento y aplicación de los amigos del 10, 100, 1000,… En la suma de 29 + 15, en vez de realizar la suma que conlleva rebasamiento de decenas, se realizaría pasando uno al primer sumando, y consecuentemente, quitando uno al segundo sumando, con lo que la operación final a realizar sería, 30 + 14, es igual a 15; resultan más fácil de calcular.

Redondeo en la Resta (1º EP)

En la resta la acción que se realizaría viene representada en la figura 21, en la que se observa diferentes operaciones de restas, en orden creciente de dificultad, en las que se redondea uno de los términos. Tenemos que tener en cuenta que cuando se redondea el minuendo, debemos quitar a ambos términos la cantidad necesaria para redondear. Sin embargo, si se decide redondear el sustraendo, debemos sumar al minuendo la cantidad que añadido para el redondeo. Por ejemplo, en la operación 44 - 38, se decide redondear el minuendo a 40, con lo que se deben restar 4 a la cantidad inicial; en consecuencia, se debe restar, también 4 del sustraendo, que sería 34, para que la resta siga teniendo la misma diferencia entre cantidades. La operación quedaría, 40 – 34, que es igual a 6. Se deben propiciar cálculos en los que las cantidades sean cercanas a 10, 100, 1000,… para fomentar el uso de éstos.

En las operaciones de estructura multiplicativa (producto y división), se utiliza el redondeo de forma mental y escrita, pudiendo expresarlo en los algoritmos escritos. Seguidamente, se describen y presentan algunos ejemplos del desarrollo de esta estrategia:

Redondeo en el Producto (4º EP)

Nos referimos a redondeo en el producto cuando el multiplicando se acerca mucho a un número con el que ya se puede multiplicar mentalmente, con toda facilidad (Martínez Montero, Sánchez Cortés y De la Rosa, 2020). La figura 22, muestra un ejemplo de la realización de este tipo de estrategia en la operación de 280 x 8, donde se redondea el multiplicando a 300, con lo que multiplicaríamos 300 x 8, que son 2400, y ahora tendríamos que quitar lo que hemos añadido para el redondeo, por lo que multiplicaríamos 20 (que es lo que le añadimos a 280) x 8, que son 160. Por lo que el resultado se obtiene de restar 2400 – 160, obteniendo 2240.

Redondeo en la División (4º y  5º EP)

Compensación

Esta estrategia supone que el/la alumno/a, una vez iniciada la operación, opera con un número distinto o no presente, pero que resulta más sencillo; a continuación, compensa, añadiendo o quitando el exceso o defecto de la compensación (Martínez Montero y Sánchez Cortés, 2019). En los siguientes párrafos, se muestran algunos ejemplos de esta estrategia aplicadas en las estructuras aditivas.

Compensación en la Suma (1º EP)

En la figura 24, se muestra unos ejemplos del uso de la compensación en sumas con diferentes cantidades, cada vez mayores. Como ocurre en la estrategia de redondeo, el aprendizaje de los amigos del 10, 100, 1000,… debe estar conseguido, para poder aplicarlo de una forma natural. Por ejemplo, en la operación de 57 + 85, se aplicará los amigos del 100, puesto que, en primer lugar, se sumará 57 + 100, redondeando el segundo sumando a las centenas, que son 157. A continuación, se debe restar lo que hemos añadido en el redondeo, que en este caso es 15 (amigo del 85), por lo que el resultado se halla, a partir de, 157 – 15, que son 142.

Compensación en la Resta (1º EP)

En la compensación en la resta, se trabaja de forma similar a la suma, pero en este caso debemos añadir lo que hemos quitado de más para conseguir el redondeo. En la figura 25 se muestran algunos ejemplos de esta estrategia aplicada a diferentes operaciones con distintos niveles de dificultad. En el caso del 41 – 18, se decide quitar 20, en vez de 18, por lo que tenemos 41 – 20, que son 21. Como hemos quitado 2 de más, debemos sumar 2 al resultado que habíamos obtenido (21 + 2), siendo el resultado 23. Al igual que en las anteriores estrategias, es indispensable el conocimiento y aplicación de los amigos.

4.1. Ejemplos de prácticas de redondeo

En este apartado se muestran algunos ejemplos de tablas de apoyo que se recomienda utilizar con nuestro alumnado, para facilitar el uso de las estrategias de redondeo. Se presentan las diferentes tablas para cada una de las operaciones (suma, resta, producto y división). Al alumnado se le pedirá que complete la tabla, teniendo únicamente como dato la operación inicial. Se recomienda iniciar esta práctica a partir de 1º de E.P., con cantidades pequeñas, e ir aumentando la dificultad a medida que vamos avanzando de curso. Estas tablas permite personalizarlas, dependiendo del ritmo de aprendizaje de cada alumno/a.

SUMA

RESTA

PRODUCTO

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5. Bibliografía

• Martínez Montero, J. y Sánchez Cortés, C. (2019). Enriquecimiento de los aprendizajes matemáticos en Infantil y Primaria con el Método ABN. Madrid: Ediciones Pirámide
• Martínez Montero, J., Sánchez Cortés, C., De la Rosa Sánchez, J.M. (2020). Enseñar matemáticas con el método ABN. En 4º, 5º, 6º y preparación para la ESO. Madrid: Wolters Kluwer S.A.